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一、容斥問(wèn)題

容斥問(wèn)題即包含與排斥問(wèn)題，它是一種計(jì)數(shù)問(wèn)題。在計(jì)數(shù)時(shí)，幾個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從他們的和中排除重復(fù)部分，采用這種計(jì)數(shù)方法的題型稱(chēng)為容斥問(wèn)題。

二、題目特點(diǎn)

題目中給出多個(gè)概念，概念之間存在交叉關(guān)系。

三、?？碱}型

1、二者容斥問(wèn)題

公式：覆蓋面積=A+B-A與B的交集

例1:大學(xué)四年級(jí)某班有50名同學(xué)，其中奧運(yùn)會(huì)志愿者10人，全運(yùn)會(huì)志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者且?jiàn)W運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)是多少？

A.6   B.7

C.8   D.9

解析：兩個(gè)概念分別的奧運(yùn)會(huì)志愿者和全運(yùn)會(huì)志愿者，設(shè)班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者且?jiàn)W運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)有X人，則有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者且?jiàn)W運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)有7人。

2.三者容斥問(wèn)題

公式：覆蓋面積=A+B+C-兩者交-2×三者交

例2:某調(diào)查公司對(duì)甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過(guò)甲片，有47人看過(guò)乙片，有63人看過(guò)丙片，其中有24人三部電影都看過(guò)，20人一部也沒(méi)有看過(guò)，則只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)是多少人？

A、69   B、65

C、57   D、46

解析：三個(gè)概念分別是甲片、乙片、丙片，假設(shè)只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)有X人，則89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)有46人。

3.容斥極值問(wèn)題

容斥極值最?？嫉木褪侨莩饨患淖钚≈?，我們可以套用公式解決。

①(A∩B)=A+B-I (I表示全集)

②(A∩B∩C)=A+B+C-2I

③(A∩B∩C∩D)=A+B+C+D-3I

例3:小明、小剛、小紅、小英四人一起參加一次英語(yǔ)考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了79題，小剛做對(duì)了88題，小紅做對(duì)了91題，小英作對(duì)了89題。

問(wèn)題：

①小明和小剛都最對(duì)的題目至少有幾題？

②小明、小剛、小紅都最對(duì)的題目至少有幾題？

③小明、小剛、小紅、小英四人最對(duì)的題目至少有幾題？

解析：

①小明和小剛都最對(duì)的題目至少有79+88-100=67人

②小明、小剛、小紅都最對(duì)的題目至少有79+88+91-2×100=58人

③小明、小剛、小紅、小英四人最對(duì)的題目至少有79+88+91+89-3×100=47人。